Idąc na umówione spotkanie, czułam jakąś niewygodę, by nie powiedzieć zgrzyt – ja, antytalent matematyczny, miałam przeprowadzić rozmowę o przypadku z matematykiem. Czułam, że temat jest szeroki, ale nie spodziewałam się, że można go właściwie zawęzić tak, by zamknąć klamrą wzoru, bo cała reszta opowieści to dywagacje i hipotezy. Z praktycznych racji na miejsce naszego spotkania wybrałam ogród botaniczny w Poznaniu. Czułam, że znajdziemy tam spokój potrzebny do skupienia i wsparcie w widoku kwitnących roślin, które niezależnie od naszych ustaleń, takie pozostaną. Zadziałało. 

 

Po skończeniu pierwszej klasy w liceum plastycznym miałam poprawkę z matematyki – na zawsze zdeterminowało to moje przyszłe wybory życiowe, jednak w tej rozmowie poczułam, że bawić się matematyką, logiką można, podejmując inne tematy. Być może nie uzyskamy tu żadnego rozwiązania, chyba nawet nie było takiego zamiaru. Musiałam się pogimnastykować, żeby rejestrować specyficzne twierdzenia, jednak uznaję to za wprawkę do mojej osobistej matematyki natury, która w końcu zdominowała naszą rozmowę. Pan profesor okazał się wrażliwy na niematematyczne treści i szczerze przejęty ludzkimi dziejami w obecnych czasach, chętnie wdał się w spekulacje co do naszej przyszłości – ludzi, cywilizacji, planety. Pomógł ogarnąć nasze miejsce w szerokiej perspektywie, od antyku do odległej przyszłości, która szczęśliwie zafunkcjonuje na pewno. Jak? Hipotezy to ulubione słowo, które zapamiętam z tego spotkania. 

 

A Ogród nadal stoi i ma się wspaniale w swojej letniej pełni – jakby nas tu w ogóle nie było.

 

Pytamy o przypadek. Mamy bowiem 21 numer magazynu, w 21 roku, XXI wieku – przypadek?

 

Matematyk nie powinien zakwalifikować do przypadku właściwie żadnego zdarzenia, nawet jeśli student spóźnia się na zajęcia z powodu wypadku drogowego czy opóźnionego pociągu. Ja twierdzę, że te zdarzenia są przewidywalne. To po prostu da się przewidzieć, takie jest przecież całe życie, które jest zbiorem przypadków, a każdy przypadek składa się na życie.

 

Wydaje się pozornie trudne – wliczenie przypadku w ramy życia.

 

To jest trudny temat, temat rzeka. Filozofią kiedyś zajmowali się zwykli ludzie. Wszyscy, i naukowcy, i filozofowie, starali się wytłumaczyć, czym jest przypadek. Przyjmowano na zasadzie dobrej woli, bez zafałszowywania, ale na bazie tego, co w danym momencie historii było wiadomo. Dzisiaj często posługujemy się przypadkiem, tylko że ten przypadek bardzo spowszedniał, wszedł nam już w krew. Kiedyś udzieliłem wywiadu na temat logicznego myślenia i powiedziałem takie zdanie: przeciętny człowiek używa procesu myślenia, nie zastanawiając się nad tym – myśli i jest to tak naturalnie zakodowane w nas, że nie zastanawiamy się w ogóle nad tym, że proces ten ciągle trwa – nie myślimy o tym, że myślimy. To jest jak oddech, człowiek oddycha i nie myśli nad tym faktem.

 

Inną kwestią jest to jak myślimy – czy to myślenie nie jest „zepsute” przez poglądy, politykę, podejście do życia.

 

I podobnie jest z przypadkiem – już Arystoteles się nim zajmował, a była to cała szkoła filozoficzna, która wiązała zasadę przyczyny i skutku. Tam właściwie nie było miejsca na przypadek. Szukano związków w sytuacji, w której coś się zdarzyło, a przypadek był wyłomem z racjonalności, przerywał ciąg przyczynowo-skutkowy.

 

I ten przypadek, to coś nieracjonalnego, tak postrzegany jest do dzisiaj. Ale obecnie przypadek można w jakiś sposób zakwalifikować – i matematyka to pięknie rozwiązuje.

 

Przypadek to coś, czego się nie spodziewamy – coś, co jest nieokreślone.

 

W dzisiejszych czasach, charakteryzujących się niespotykanym jak dotąd rozwojem nauki, gdzie bez przerwy coś nowego odkrywamy, jest coraz mniej miejsca na przypadki.

 

Czy przypadki są policzalne?

 

Przypadków jest nieskończenie wiele, przy czym powinniśmy już raczej mówić o zdarzeniu, nie przypadku. Najlepiej mówić o częstotliwości występowania zdarzenia.

 

Wracając do Arystotelesa – przypadek to było coś, co nie mieściło się wtedy w umyśle ludzi, co było niewytłumaczalne. Matematyka zna wiele takich „przypadków”. 

 

I nie wchodząc zbyt głęboko w teorię, tę która jest mi najbardziej bliska, w teorię liczb i algebrę, sięgnijmy do czasów Euklidesa i liczb wymiernych, a konkretnie do „przypadku” ich odkrycia.

 

Czy można to potraktować jako przypadek, czy raczej konsekwencję konieczności poradzenia sobie w tak prostych sprawach jak chociażby mierzenie.

 

Liczby naturalne, które wykorzystywano do liczenia bydła, talarów i innych dóbr, po prostu już nie wystarczały. Pojęcie liczby wymiernej było dla wielu abstrakcją – zostało odkryte i rozpoczęło nową, lepszą już formę radzenia sobie z uciążliwościami tamtego życia. Podobnie było z liczbami niewymiernymi czy zespolonymi.

 

Dziś, gdybym mógł rozpocząć nowe studia, po moich latach pracy matematyka, to zacząłbym prawdopodobnie filozofię, choć matematyka jest częścią filozofii lub jak chcą inni – filozofia jest częścią matematyki.

 

Arystoteles poważnie rozważał istnienie Boga, który był wykonawcą świata, W antyku wierzono w wielu różnych bogów. Bóg to był ktoś, kto wszystko stworzył, a skoro nie możemy wszystkiego przewidzieć, bo taka jest główna cecha przypadku, to pojawia się tu zaprzeczenie istoty Boga. 

 

Powiedział Pan, że każde zdarzenie jest w zasadzie do przewidzenia. Co zatem z grami. Czy wygraną w lotto da się wyliczyć?

 

Matematycy, uogólniając, raczej nie grają w lotto oraz temu podobne gry, ale tak – da się to wyliczyć. Wygralibyśmy, choć stracilibyśmy pewnie dużo czasu na wypełnianie kuponów i jeszcze więcej pieniędzy potrzebnych, żeby ten milion wygrać.

 

Choć są i ludzie, którzy zakładają prawdopodobieństwo wygranej 1/2 – albo wygram, albo przegram. Niestety, prawdopodobieństwo wygranej jest niepomiernie małe – i mimo to, ten margines prawdopodobieństwa niektórych pociąga. Włącza się w ludzkiej naturze chęć sprawdzenia, która jest silniejsza niż rozsądek. 

 

Czym zatem jest przypadek w matematyce?

 

Matematycznie przypadek definiuje się jako zdarzenie o prawdopodobieństwie większym od zera, a mniejszym lub równym jeden. Ale dla przeciętnej istoty żyjącej na ziemi prawdopodobieństwo (przypadek) zajścia zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń sprzyjających wydarzeniu A do liczby wszystkich zdarzeń. Trochę tak jak w rzucie kostką: wyrzucenie piątki to przypadek, który można wyliczyć i równy jest 1/6. Wyciągnięcie asa z talii kart jest równe 4/52 a już wyciągnięcie asa pik jest równe 1/52.

 

Bardziej matematycznie: prawdopodobieństwo to jest funkcja określona na zbiorze zdarzeń elementarnych przyjmująca wartości pomiędzy zerem a jeden. 

 

Jeśli mówimy, że prawdopodobieństwo jest zerowe, oznacza że „coś” nigdy nie zajdzie. Określając prawdopodobieństwo o wartości 1, mamy zdarzenie pewne. Zatem przypadek to zdarzenie mniejsze od 1, a większe od 0.

 

Nasze spotkanie – z punktu widzenia naszej czwórki – jest pewnym przypadkiem, ale gdybyśmy zechcieli do tego podejść logicznie, matematycznie, to można zobaczyć, że pewien ciąg zdarzeń doprowadził do tego, byśmy się tu, w Ogrodzie Botanicznym, spotkali. Zaistniało bowiem wiele poprzedzających zdarzeń, które poprzedziły nasze spotkanie. Można oszacować, krok po kroku, jak do tego doszło. Więc tym samym nie jest to zdarzenie, które jest niemożliwe.

 

Zatem jeśli przypadek się zdarzył, to znaczy, że jest możliwy. Czy w takim razie można go w ogóle nazywać przypadkiem?

 

Przypadek jest dotąd przypadkiem, aż zrozumiemy, co go poprzedziło, jakie zaistniały związki zdarzeń. 

 

I tak naukowej teorii Wielkiego Wybuchu można w pewnym sensie przeciwstawić teorię mówiącą o istnieniu Boga stwórcy. Można też brnąć dalej – kto w takim razie stworzył Boga – to akademickie dyskusje. Już Galileusz powiedział, że matematyka jest alfabetem, przy pomocy którego Bóg opisał wszechświat. Wiele otaczających nas zjawisk da się opisać poprzez rachunek różniczkowy, a konkretnie równania różniczkowe i całkowe.

 

Ten rzeczony przypadek trochę zależy od świadomości ludzi. W dawnych czasach, kiedy świadomość była niska (poza ośrodkami naukowymi), te tzw. przypadki zdarzały się bez przerwy, a nawet nazywano je cudami. 

 

Czym jest więc cud? 

 

Już Św. Augustyn powiedział, że cuda nie dzieją się w sprzeczności z naturą, ale w sprzeczności z tym, co o naturze wiemy. Zatem, im wyższy poziom rozwoju nauki, matematyki, fizyki, chemii…, tym mniej tych cudów się przydarza. Nauka po prostu tłumaczy cuda. Choć coraz częściej słyszę powtarzające się stwierdzenia, że lepiej nieraz pozostać w nieświadomości, nie zagłębiać się w naturę zjawisk. Jeżeli spojrzymy realnie na świat i życie, przeanalizujemy w oparciu o naukę zagrożenia, nad którymi póki co ludzkość nie panuje, to świadomość jego kruchości i zależności od wielu czynników, spowoduje ciągły niepokój. Na przykład superwulkan Yellowstone – spekuluje się, że lada chwila ma wybuchnąć. Ten wulkan wybuchał w swoich dziejach już wielokrotnie i zawsze mówiono, że to przypadek lub sygnał od istot, które różnie określano. Podobnie było kiedyś w przypadku zaćmień słońca. 

 

Matematyka pomaga w przybliżeniu wyliczyć zajście zdarzenia – ażeby coś precyzyjnie określić, potrzebne są warunki brzegowe, czyli dużo danych. Obecnie mamy dostęp do coraz większej liczby danych, które potwierdzają, że wulkan wybuchnie – jedyna niewiadoma to dokładna data tego wydarzenia. Czy będzie miało miejsce za 20, 30 czy 100 lat. Cywilizacja była wielokrotnie niszczona, my mamy się za niezniszczalnych, zarządzających całą planetą, ale widzimy też, co się dzieje. To planeta rządzi nami, a my nie jesteśmy w stanie poradzić sobie nawet w przypadku pożarów czy powodzi.

 

Skoro jesteśmy przy katastrofalnych zdarzeniach – co z meteorytami? Jak duże są szanse na to, że po raz kolejny w nas uderzą?

 

Jest ich tak dużo, że nie ma możliwości, by coś tak olbrzymiego nie uderzyło w końcu w Ziemię. Jest to tylko kwestia czasu, a od postępu nauki, technologii zależeć będzie rodzaj zniszczenia. Możemy sobie w zaciszu domowym, opierając się na danych, wyliczać, kiedy meteoryt uderzy, możemy rozważać scenariusze oparte na filmach sci-fi dotyczące unieszkodliwienia przybyszów z dalekiej przeszłości i możemy mieć nadzieję, że przetrwamy, a nadzieja jest konieczna do rozwoju nauki. 

 

A co z życiem na Ziemi? Dzieło przypadku?

 

Nie odpowiem na to pytanie, ale jestem pewien – nie jesteśmy jedynymi istotami we Wszechświecie. To jest zerowe prawdopodobieństwo – może popełnię błąd, ale patrząc na naszą galaktykę, na ilość galaktyk, wydaje się naprawdę mało prawdopodobne, żebyśmy byli tu sami. Stephen Hawking na krótko przed śmiercią powiedział coś znamiennego – „Nie szukajcie kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi. My jako Ziemia jesteśmy młodą cywilizacją. Każda inna będzie na tyle silna, aby nas zniszczyć, bo może naszą wartość oceniać na nie większą, niż my widzimy w bakteriach”. 

 

Nauka w ostatnich 200-300 latach szybko się rozwinęła, a rachunek prawdopodobieństwa powoduje, że na przypadek patrzymy w sposób zrozumiały. Potrafimy go okiełznać, choć rzeczywiście są momenty, kiedy nie jesteśmy w stanie uszczegółowić wszystkiego. Upraszczając – jeśli dzięki nauce, matematyce będziemy mieli optymalną ilość danych, to wszystko jesteśmy w stanie obliczyć.

 

Jeszcze niedawno, w kontekście istnienia życia na Ziemi, uważano, że Ziemia jest płaska i podtrzymywana przez żółwie, słonie – symbole długowieczności. Przy średniej długości życia człowieka wówczas (20-30 lat) – żółw, który mógł żyć nawet 200 lat, obejmował nawet 10 ludzkich pokoleń. Rozważano, co się stanie, kiedy jeden żółw czy słoń dopełni swojego życia – i był to problem tamtych żyjących na ziemi ludzi, problem, który można porównać do problemów naszej cywilizacji, choć oczywiście w zupełnie innym wymiarze.

 

Czy kiedyś wyliczymy wszystko?

Na żadnym etapie rozwoju umysłu ludzkiego nie jesteśmy w stanie wszystkiego poznać. Gdyby tak było, bylibyśmy absolutem. Pojawiają się problemy, te z kolei są przez naukę badane, rozwiązywane w czasie, a kolejne pytania pojawiają się nieustannie. Podstawową metodą badań od czasów Arystotelesa była indukcja i dedukcja. Punkt po punkcie, metodycznie. W indukcji mówi się o pewnych ogólnych zasadach, wyprowadzając je ze szczególnych, a dedukcja to mówienie o szczegółach w oparciu o ogólne zasady. Metoda ta działa do dziś w wielu dziedzinach. I zawsze też spotykać będziemy się z „przypadkiem”. Jednak im więcej wiemy o prawdopodobieństwie, tym mniej zaskakują nas przypadki i „niemożliwe” zbiegi okoliczności.

 

Rachunek prawdopodobieństwa i statystykę wykorzystujemy także podczas trwającej dzisiaj pandemii. Wyciągamy wnioski, przewidujemy skutki – trwa to od tysiącleci i będzie nadal, jednak pewne prawdy są niezmienne.

 

Do dziś na wykładach z algebry i teorii liczb studiujemy dowody, które mają 2000 lat, ponieważ tu nic się nie zmieniło. Fakt, że istnieje nieskończona ilość liczb pierwszych moglibyśmy przez kolejne 2-3 godziny opowiadać sobie, jak to wpływa na przypadki. A matematyka to jest taki constans. 

 

Czy kiedyś wyliczymy wszystko? Na pewno nie, bo to „wszystko” jest rodzajem nieskończoności – a tu zdarzają się przypadki i żeby je ograniczać, powinniśmy postawić edukację na należytym jej miejscu. Porządna i prawidłowa edukacja jest podstawą rozumienia zjawisk. Dotyczy wszystkich dziedzin, choćby ekologii, gdzie widzimy wielkie luki i ignorancję. Szacunek i pokora w dobrobycie, w którym radośnie żyjemy uciekły w niebyt. Edukacja i wynikająca z niej odpowiedzialność dotycząca planety muszą być obecne i w domu i w szkole, bo zbrodnia przeciwko planecie jest, powinna być, porównywalna do zbrodni przeciwko człowiekowi.

 

A mówiąc o człowieku, dochodzimy do sztucznej inteligencji, z jednej strony nieprzypadkowej konsekwencji rozwoju cywilizacji, ale także, jak sugerują niektórzy badacze, niosącej niebezpieczeństwo stania się jej niewolnikami. Sztuczna inteligencja, nawet ta dzisiejsza, jest tak zaawansowana, że wyeliminuje przypadki.

 

Czy jednak życie, w którym nie ma przypadku i wszystko – jeśli nie zaplanowane, to przewidywalne – pozostanie ciekawe? A co z siłami, które są niedefiniowalne?

 

Potrzebowałem wielu lat, by zrozumieć, o co pytał mnie tybetański mnich – czy piekło lub czyściec może być kolejną inkarnacją naszego życia? Przypomniało mi się to w Kalkucie, podczas wycieczki z dostojnym starcem, który swoją rikszą zabrał mnie do slumsów. Slumsy są jak czyściec czy piekło. Reinkarnacja? Niebo?

 

Według starego przysłowia „w naturze nic nie ginie”. Obserwując cykle natury, widzimy, że życie krąży. Świat jest zbyt skomplikowany, by rozwiązanie było proste. 

 

I w tym kontekście takie uporządkowane życie, gdzie wszystko jest na miejscu, o wszystkim wiemy, możemy przewidywać, gdzie prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe 1 – jest po prostu nieciekawe i mam nadzieję, że jeszcze długo pozostanie nierealne.

 

Wszechświat nieustannie się rozszerza, pojawia się pojęcie nieskończoności, w której to skończone „życie” naszej planety powinno być dla nas wszystkich najważniejsze i powinniśmy tak działać, by przypadki niekorzystne eliminować – a to cały czas jest jeszcze w granicach naszych możliwości.

 

___

tekst: Światosława Sadowska

 

Roman Czarnowski,
matematyk, wieloletni pracownik UAM, w latach 2012-2020 prodziekan ds. studenckich wydziału matematyki i informatyki UAM, podróżnik, organizator wielu wypraw na daleki wschód (Indie, Bhutan, Nepal, Sumatra, Chiny, Borneo, Malezja), miłośnik gór.